67

شرح نسبة بواسون

مرحبًا بالجميع ، ومرحبًا بكم في فيديو جديد على قناة" Efficient Engineer"

في هذا الفيديو سنلقي نظرة على خـاصية فالمادة مثيرة حقـًا للاهتمام

وهي نسبة بواسون

تعد نسبة بواسون خاصية مهمة من خواص المواد

لأنها توفر لنا المعلومات أساسية

حول كيفية حدوث تشوه في المواد المختلفة أثناء تطبيق تحميل عليها

لنتعمق في ذلك

لنبدأ بمثال سريع

الشريط المطاطي

إذا أخذت شريطًا مطاطيًا وقمت بتمديده طوليـًا

فسيزداد طوله بشكل واضح

ولكن من البديهي أيضًا

أن الشريط سيصبح أرق في نفس اللحظة

يمكن لنسبة بواسون أن تخبرنا إلى أي مدى أصبح هذا الشريط رقيقـًا

ماذا عن كتلة عامة من المواد؟

خذ هذا المكعب البرتقالي الصغير

في حال أثرنـا عليه بقوة ضغط

فسيتمدد في الاتجاهات المتعامدة على الاتجاه الذي نؤثر فيه بقوة الضغط

يطلق على الاتجاه المطبق عليه الحمل بالاتجاه الطولي

ويطلق على الاتجاهات العمودية بالاتجاهات الجانبية

إذا قمنا بعكس إتجاه القوة

لنطبق حمل شد

سيتمدد المكعب في الإتجاه الطولي

وسيتقلص في الإتجاهات العرضية

المبدأ الرئيسي هنا

هو عندما تطبق إجهاد على المادة في اتجاه معين

سيحدث تشوه للمادة في الإتجاهات الجانبية ايضاً

نسبة بواسون هو مقياس لمقدار تشوه المادة في الإتجاهات الجانبية

لتعريف نسبة بواسون بشكل أدق

دعنى ننظر عن قرب لمثال حيث يتم تطبيق قوة شد

اولاً دعنا نضع اسماء للمعاير المختلفة المتضمنه

LX, LY و LZ هي الابعاد الاصلية لمكعبنا

على محاور X,Y,Z

دلتا LX ودلتا LY ودلتا LZ

هي مقدار التغير في هذه الإتجاهات بعد تطبيق التحميل

يعرضوا مقسومين على ٢

لان التغير في الحجم يتم في الإتجاهين

من ثم يمكنا كتابة الإجهاد في الإتجاهات الثلاثة

كتذكير سريع الإجهاد عبارة عن قياس للتشوه

ويتم التعبير عنه بقسمة مقدار التغير في الطول على الطول الأصلي

ويرمز له بالحرف اللاتيني إبسلون

ويعرض كنسبة مئوية

عندما نطبق التحميل في الإتجاه الطولي

نكتشف ان الإجهاد الحادث على الإتجاهات الجانبية متساوي

وهنا يقع الجزء المثير للإهتمام

انها تتناسب مع الإجهاد المطبق على الإتجاه الطولي

النسبة بين الإجهاد الطولي والإجهادات الجانبية

هو ثابت لكل مادة

لربما توقعك الأن صحيح

نعبر عن هذا الثابت للمادة بالحرف اللاتني نيو

ونطلق علية نسبة بواسون

بالمناسبة، نسبة بواسون مسماه على اسم هذا الرجل

سيميون بواسون

عالم الرياضيات الفرنسي الشهير

والذي عرف النسبة في مذكرة نشرت عام ١٨٢٧

لربما تتسائل لماذا توضع علامة سالب في المعادلة

تذكر انه بالإجماع إجهاد الشد يكون ايجابي

وإجهاد التقلص بالسالب

علامة السالب هناك لكي تحول القيمة لموجب بما ان الاشارتين مختلفتين

نحصل على قيمة موجبة لنسبة بواسون

الان وقت مناسب لنذكر ان هذ المعادلة والمفهوم الذي تحدثنا عنه في الفيديو

ينطبق فقط على المواد موحدة الخواص

وهي المواد متطابقة الخواص في كل الإتجاهات

وايضاً نفترض ان تشوه المادة يتم في حدود المرونة

الاشياء تزداد تعقيداً عندما يكون التشوة الدائم محل الدراسة

على كلاً، لنلخص نسبة بواسون هي صفة عديمة الإتجاه للمادة

تخبرنا كيف ستتقلص المادة في الإتجاهات الجانبية

عند شدها في الإتجاه الطولي

والان بتنا نعرف ماهي نسبة بواسون

يمكنا النظر الى بعض القيم القياسية لبعض المواد

وبدون التعمق في الحسابات خلفها

من المفيد معرفة ان الحدود النظرية للقيم الممكنة لنسبة بواسون

تمتد من -١ ل ٥.

ولكن فالواقع معظم المواد الطبيعية

لديها نسبة بواسون تقع بين الصفر و ٥.

معظم المعادن لديها نسبة بواسون قرابة ٣.

هنا بعض القيم القياسية لمواد معينة

الأن دعنا نرى كيف قيم مختلفة لنسبة بواسون

تؤثر على تشوه المادة موضع التحميل

للتبسيط سنركز على التأثيرات بشكل ثنائي الابعاد

معظم المواد لديها نسبة بواسون تقع بين الصفر و ٥.

عند تطبيق قوة شد على هذه المادة

تتقلص في الإتجاهات الجانبية

كما رئينا في المكعب البرتقالي

المواد ذات نسبة بواسون تساوي صفر مثيرة للإهتمام

فعند تطبيق قوة شد طولية

لا. يحدث اي تشوه في الإتجاهات الجانبية

أحد المواد التي تظهر هذا السلوك هي

الفلين والتي لديها نسبة بواسون مساوية للصفر

هذه الخاصية تجعلها مادة مفيدة للغاية في تطبيقات معينة

مثال واضح هو سدادة الفلين في قارورة النببذ

لأنها لا تتمدد جانبياً عند الضغط كما ترى هنا

يمكن بسهولة إدخالها في عنق الزجاجة

مادة اخرى بنسبة بواسون مرتفعة سيكون من الصعب جدا

إدخالها حيث ستتمدد في الاتجاهات الجانبية عند ضغطها

أخيراً لدينا مواد بنسبة بواسون سلبية

هذه تعرف بإسم مواد أوكسيتيك

فهي تتمدد جانبياً عند الشد

وتتقلص جانبياً عند الضغط، بشكل منافي للمنطق

هذه معظمها مواد مهندسة كأنواع معينة من الفوم

وليست مواد موجودة فالطبيعة

هذه التوضييح سيعطيك فكرة كيف من الممكن

الحصول على نسبة بواسون سلبية

كما ترى عندما تضغط المادة

تتقلص كلاً من الاتجاهات الطولية والجانبية

لمادة قياسية بنسبة بواسون اكبر من صفر

تتوقع ان يزيد الاتجاه الجانبي عند ضغط المادة

لانها تدلنا على كيفية تشوه المادة

تعد نسبة بواسون مقياس هام للغاية في مجال ميكانيكا الأوساط المتصلة

لتحديد إستجابة الأجسام عند تعرضها للضغط

دعنا ننظر لمثال بسيط على الضغط احادي الإتجاه

إختبار الشد

من السهل تحديد الإجهاد الواقع على عينة صغيرة موضع الإختبار

الضغط المطبق هو ضغط اعتيادي على المحور X ونرمز له سيجما X

الإجهاد في الإتجاه الطولي يمكن إيجاده بسهوله بستخدام قانون هوك

بقسمة سيجما X على معامل يونغ E

ومع ان لا يطبق ضغط على الاتجاهات الجانبية Y,Z

سيكون هناك اجهادات في الاتجاهات الجانبية

حيث تتقلص المادة جانبياً

استنتاج الاجهادات الجانبية يتم بواسطة

ناتج ضرب الإجهاد الطولي بنسبة بواسون

هذا مجرد استخدام لمعادلة نسبة بواسوان والتي شرحناها مسبقاً

ولكن ماذا عن حالات اكثر تعقيداً

حيث نطبق ضغط بكميات مختلفة على الاتجاهات الثلاثة

في هذه الحالة لن نستطيع الإكتفاء بتطبيق قانون هوك

لتحديد الإجهاد في الإتجاه الطولي

لانها ستتأثر ايضاً بالإجهادات على المحاور الأخرى

النسخه البسيطه من قانون هوك المخصصة للضغط في اتجاه واحد لم تعد صالحة في هذه الحالة

لان الإجهاد في احد الإتجاهات سيعتمد على الضغط الواقع

على كل الاتجاهات الثلاثة

نحتاج في هذه الحالة دمج استخدام نسبة بواسون مع قانون هوك و مبدأ التراكب

لنصل لمعادلة الإجهاد في اتجاه X

يمكنا إعادة ترتيب هذه المعادلة بشكل عملي أكثر

كهذا

ومن ثم تطبيق نفس الطريقة

للحصول على معادلات الإجهاد للإتجاهات Y,Z

تعرف هذه المعادلات بقانون هوك العام

وتستخدم لتحديد التشوة في حالة تطبيق ضغط على المحاور الثلاثة

هناك حالة Bخيرة أود ذكرها

وهي المواد ذات نسبة بواسون مساوية ٠.٥

وهي القيمة العظمى في المدى النظري الذي ناقشناه مسبقاً

فالنرجع لمكعبنا لنشرح من خلالة مبدأ الإجهاد الحجمي

اللإجهاد الحجمي هو قياس تغير حجم العنصر موضوع الضغط

اعتقد انك لن تندهش ان تعرف انه مرتبط بنسبة بواسون

يمكنا حساب الإجهاد الحجمي

من خلال جمع الإجهادات في الإتجاهات الثلاثة

فالنستخدم المعادلة التي توصلنا لها من قانون هوك العام الذي ذكرناه للتو

لاكمال معادلة الإجهاد الحجمي

ومن ثم يمكنا اعادة ترتيب المعادلة

لينتهي المطاف بالمعادلة التالية

لربما لاحظت حدوث ما يدعو للانتباه بخصوص الإجهاد الحجمي

عندما تكون نسبة بواسون تساوي ٠،٥

نحصل على اجهاد حجمي يساوي صفر

هذا يعني ان للمواد ذات نسبة بواسون بقيمة ٠،٥

حجم المادة يبقى ثابتاً عند التشوه

تعرف هذه بالمواد الغير قابلة للضغط

المطاط مثال على المواد الغير قابلة للضغط

هذه هي نهاية مراجعتنا لنسبة بواسون

0